Abstract
The purpose of this article is generalizing of a series concept, an infi nite product concept, and their convergence by defining a new general infinite operation concept which is defined for any metric space and for any binary operation. The most important special cases of an infinite operation are a series and an infinite product, however, infi nite unions, intersections and function compositions are also considered in the article. The main result of the article is a proof of the general necessary condition of infinite operation convergence which asserts that the terms of a convergent infinite operation limit to the neutral element under certain assumptions.
Highlights
The purpose of this article is generalizing of a series concept
their convergence by defining a new general infinite operation concept which is defined for any metric space
intersections and function compositions are also considered in the article
Summary
Сформулюємо означення нескiнченної операцiї та подамо деякi важливi приклади. Означення 1.1. Тобто в цьому випадку поняття нескiнченної операцiї збiгається з поняттямnч=и0слового ряду (Ilin & Poznyak, 2005), причому збiжнiсть обох понять узгоджена. За означенням ряд є збiжним, якщо iснує границя часткових сум, що вiдповiдає означенню збiжностi нескiнченної операцiї. ∏︁ an, n=0 n=0 тобто в цьому випадку поняття нескiнченної операцiї збiгається з поняттям нескiнченного добутку, причому збiжнiсть обох понять узгоджена. За означенням нескiнченний добуток є збiжним, якщо iснує ненульова границя часткових добуткiв, що вiдповiдає означенню збiжностi нескiнченної операцiї, бо у випадку. Нехай (X, G, μ) — простiр з мiрою (Dorogovcev, 1989), * ∈ {∪, ∩} — операцiя перетину чи об’єднання. Розгляньмо новий простiр з мiрою (X, G, μ), у якому замiсть множини X беремо її фактор-множину за вiдношенням еквiвалентностi. Тодi на фактор-множинi X можна запровадити метрику d (A, B) = μ (A B) та отримати наступнi нескiнченнi операцiї:. Нескiнченної у f1 ∘ . . . ∘ fn операцiї просторi еквiвалентна C (R)
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
