Generalization of some M.A. Krasnosel'skii's results

Nina A Erzakova

doi:10.1016/j.jmaa.2015.03.063

Abstract

We prove necessary and sufficient conditions for complete continuity of the Fréchet derivative at a point and the asymptotic derivative (in the case of their existence). For any measure of noncompactness ψ, we introduce two new classes of operators: a locally strongly ψ-condensing operator at a point and a strongly ψ-condensing at infinity on spheres. The new classes contain all completely continuous operators and some noncondensing operators. In addition, we extend some results of M.A. Krasnosel'skii on bifurcation points to a class of vector fields more general than completely continuous.

Highlights

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГАПриводятся два условия, равносильные полной непрерывности как производной Фреше в точке, так и асимптотической производной, в случае их существования.
(λ2 ) Непрерывный оператор f : M ⊆ E → E1 называется локально сильно ψ - уплотняющим оператором в точке u1 ∈ M , если существуют число r1 > 0 и функция λu, f : R+ → R+ такие что для любых чисел 0 < ρ < r < r1 и множества U = (u1 + Bρ ) ∩ M выполнено неравенство ψ E1 ( f (U )) ≤ λu, f (r)ψ E (U ) .
(λ3 ) Непрерывный оператор f : M ⊆ E → E1 называется локально сильно ψ - уплотняющим оператором в точке u1 ∈ M (на сферах), если существуют число r1 > 0 и функция λu, f : R+ → R+ такие что для любых чисел 0 < ρ < r < r1 и множества U = (u1 + Sρ ) ∩ M выполнено неравенство ψ E1 ( f (U )) ≤ λu, f (r)ψ E (U ).

Summary

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА

Приводятся два условия, равносильные полной непрерывности как производной Фреше в точке, так и асимптотической производной, в случае их существования. (λ2 ) Непрерывный оператор f : M ⊆ E → E1 называется локально сильно ψ - уплотняющим оператором в точке u1 ∈ M , если существуют число r1 > 0 и функция λu, f : R+ → R+ такие что для любых чисел 0 < ρ < r < r1 и множества U = (u1 + Bρ ) ∩ M выполнено неравенство ψ E1 ( f (U )) ≤ λu, f (r)ψ E (U ) . (λ3 ) Непрерывный оператор f : M ⊆ E → E1 называется локально сильно ψ - уплотняющим оператором в точке u1 ∈ M (на сферах), если существуют число r1 > 0 и функция λu, f : R+ → R+ такие что для любых чисел 0 < ρ < r < r1 и множества U = (u1 + Sρ ) ∩ M выполнено неравенство ψ E1 ( f (U )) ≤ λu, f (r)ψ E (U ).

По определению производной

ON BIFURCATION POINTS OF STRONGLY CONDENSING OPERATORS

Сведения об авторе