Genealogies of regular exchangeable coalescents with applications to sampling

Abstract

Cet article considère un modèle de généalogie qui correspond à un processus de coalescence échangeable régulier (appelé aussi un $\varXi$-coalescent) démarré d’une configuration à taille finie et grande, et subissant des mutations neutres. Des expressions asymptotiques pour le nombre de lignées actives ont été obtenues par l’auteur dans un travail précédent. Des résultats analogues pour le nombre de lignées actives et la longueur totale des lignées sont dérivés par les mêmes techniques martingales. Ils sont donnés en terme de la convergence en probabilité, pendant que des extensions à la convergence au sens des moments et la convergence presque sûre sont examinées. Ces résultats ont des conséquences directes sur la théorie d’échantillonnage dans le cadre de $\varXi$-coalescence. En particulier, les $\varXi$-coalescents réguliers qui descendent de l’infini (c.-à-d. qui ont des généalogies localement finies) ont des nombres de familles égaux au sens asymptotique sous le modèle d’allèles infinies et le modèle de site infinis. Dans des cas particuliers, on peut ainsi dériver des formules asymptotiques quantitatives pour le nombre de familles contenant un nombre fixe d’individus.