Gaussian fluctuations and free energy expansion for Coulomb gases at any temperature

Abstract

On obtient des résultats de concentration pour les fluctuations du gaz de Coulomb en toute dimension et dans un large régime de température, incluant des températures très petites et très grandes qui peuvent dépendre du nombre de points. On obtient un Théorème Central Limite (TCL) complet pour les fluctuations des statistiques linéaires en dimension 2, valable pour la première fois jusqu’aux échelles microscopiques et pour des températures pouvant tentre vers 0 ou l’infini quand le nombre de points diverge. On montre qu’un TCL semblable peut aussi être obtenu en toute dimension sous une condition d’absence de transition de phase, dès lors qu’on peut obtenir une erreur suffisamment petite dans le développement de l’énergie libre – un tel développement est prouvé en toute dimension, mais l’erreur n’est pas suffisamment petite pour conclure. Ces TCL sont valables dès que la fonction-test vit à une échelle supérieure à l’échelle minimale ρβ dépendant de la température, introduite dans le précédent travail (Ann. Probab. 49 (2021) 46–121).