Functional limit theorem for the self-intersection local time of the fractional Brownian motion

Abstract

Soit $\{B_{t}\}_{t\geq0}$ un mouvement brownien fractionnaire $d$-dimensionel avec parametre de Hurst $0<H<1$, ou $d\geq2$. On considere l’approximation du temps local d’auto-intersection du processus $B$, defini comme \[I_{T}^{\varepsilon}=\int_{0}^{T}\int_{0}^{t}p_{\varepsilon}(B_{t}-B_{s})\,ds\,dt,\] ou $p_{\varepsilon}(x)$ est le noyau de la chaleur. Nous demontrons que le processus $\{I_{T}^{\varepsilon}-\mathbb{E}[I_{T}^{\varepsilon}]\}_{T\geq0}$, reechelonne avec une normalisation convenable, converge en loi vers un mouvement brownien multiplie par une constante si $\frac{3}{2d}<H\leq\frac{3}{4}$ et vers une somme de processus de Hermite independants multipliee par une constante si $\frac{3}{4}<H<1$, dans l’espace $C[0,\infty)$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.