From a kinetic equation to a diffusion under an anomalous scaling

Abstract

Une equation de Boltzmann lineaire est interpretee comme equation de Fokker–Planck associee a la densite de probabilite d’un processus de Markov $(K(t),i(t),Y(t))$ sur $(\mathbb{T} ^{2}\times\{1,2\}\times\mathbb{R} ^{2})$, ou $\mathbb{T} ^{2}$ est le tore bidimensionnel. Le processus Markovien $(K(t),i(t))$ est ici un processus de sauts reversible avec des temps d’attente entre deux sauts a moyenne finie mais variance infinie. $Y(t)$ est une fonctionnelle additive de $K$, definie par $Y(t)=\int_{0}^{t}v(K(s))\,\mathrm{d}s$, ou $|v|\sim1$ pour $k$ petit. Nous prouvons que le processus $(N\ln N)^{-1/2}Y(Nt)$ converge en distribution vers un mouvement brownien bidimensionnel. En consequence, et moyennant un changement d’echelle approprie, la solution de l’equation de Boltzmann converge vers celle d’ une equation de diffusion.