Form methods for autonomous and non-autonomous Cauchy problems

Abstract

Die vorliegende Dissertation stellt einige Resultate vor, die aus Untersuchungen von Formmethoden hervorgingen. Diese spielen eine wichtige Rolle fur Evolutionsgleichungen, wenn sich diese als abstraktes Cauchy-Problem schreiben lassen, bei dem der lineare Operator zu einer Sesquilinearform assoziiert ist. Dies ist der Fall fur die meisten partiellen Differentialgleichungen. Falls diese Form dicht definiert, stetig und elliptisch ist, so ist das zugehorige abstrakte Cauchy-Problem wohlgestellt, denn der Operator ist der Generator einer analytischen Kontraktionshalbgruppe. Dann ist man an den Eigenschaften der Losung interessiert, die direkt von der Form abgelesen werden konnen, wie Positivitat, Kontraktivitat und Regularitat. Die Situation ist heikler fur nicht autonome Cauchy-Probleme, wenn die Form auch vom Zeitparameter abhangt. Unter geeigneten Messbarkeitsannahmen definiert die Familie der assoziierten Operatoren einen Multiplikationsoperator. Trotz des gemeinsamen Ausgangspunktes hat die Forschung in drei verschiedene Richtungen gefuhrt, die hier in unabhangigen Kapiteln dargestellt werden. Nach einem einfuhrenden Kapitel beschaftigen wir uns im zweiten Kapitel mit Multiplikationsoperatoren. Das dritte Kapitel behandelt nicht-autonome variationelle Cauchy Probleme. Partielle Differentialgleichungen in unendlichdimensionalen Raumen sind Thema des letzten Kapitels.