Fluctuations of Biggins’ martingales at complex parameters

Abstract

Le comportement en temps long d’une marche aléatoire branchante surcritique peut être décrit et analysé en utilisant les martingales de Biggins, à paramètres réels ou complexes. L’étude de ces martingales prises en des paramètres complexes est un sujet d’étude assez récent. En supposant que certaines conditions pour leur convergence vers une limite non-dégénérée sont vérifiées, nous étudions les fluctuations de ces martingales autour de leurs limites. Nous observons trois régimes différents. D’abord, nous montrons que dans une région dans laquelle les paramètres sont de petite norme, les fluctuations sont gaussiennes, et les lois limites sont des mélanges de variables aléatoires gaussiennes réelles ou complexes. Nous obtenons également le comportement au bord de cette région. Dans un second temps, nous trouvons une région dans l’espace des paramètres dans laquelle les fluctuations des martingales sont déterminées par les valeurs extrêmes dans la marche aléatoire branchante. Finalement, il existe une région critique (typiquement sur le bord de l’ensemble des paramètres pour lesquels les martingales convergent vers une limite non-dégénérée) où les fluctuations sont de type stable, et les lois limites sont les lois de valeurs en un temps aléatoire de processus de Lévy satisfaisant des propriétés d’invariance similaires à la stabilité.