Flow polytopes and the Kostant partition function

Abstract

We establish the relationship between volumes of flow polytopes associated to signed graphs and the Kostant partition function. A special case of this relationship, namely, when the graphs are signless, has been studied in detail by Baldoni and Vergne using techniques of residues. In contrast with their approach, we provide combinatorial proofs inspired by the work of Postnikov and Stanley on flow polytopes. As an application of our results we study a distinguished family of flow polytopes: the Chan-Robbins-Yuen polytopes. Inspired by their beautiful volume formula $\prod_{k=0}^{n-2} Cat(k)$ for the type $A_n$ case, where $Cat(k)$ is the $k^{th}$ Catalan number, we introduce type $C_{n+1}$ and $D_{n+1}$ Chan-Robbins-Yuen polytopes along with intriguing conjectures about their volumes. Nous établissons la relation entre les volumes de polytopes de flux associés aux graphes signés et la fonction de partition de Kostant. Le cas particulier de cette relation où les graphes ne sont pas signés a été étudié en détail par Baldoni et Vergne en utilisant des techniques de résidus. Contrairement à leur approche, nous apportons des preuves combinatoires inspirées par l'analyse de Postnikov et Stanley sur les polytopes de flux. Comme mise en pratique des résultats, nous étudions une famille distinguée de polytopes de flux: les polytopes Chan-Robbins-Yuen. Inspirés par leur belle formule du volume $\prod_{k=0}^{n-2} Cat(k)$ pour le cas de type $A_n$ (où $Cat(k)$ est le $k$-ème nombres de Catalan), nous présentons les polytopes Chan-Robbins-Yuen des types $C_{n +1}$ et $D_{n +1}$ accompagnés de conjectures intéressantes sur leurs volumes.