First-order properties of bounded quantifier depth of very sparse random graphs

Abstract

Говорят, что случайный граф подчиняется $k$-закону нуля или единицы, если для любого свойства, выражаемого формулой первого порядка с кванторной глубиной не более $k$, вероятность выполнения этого свойства стремится либо к $0$, либо к $1$. Известно, что случайный граф $G(n,n^{-\alpha})$ подчиняется $k$-закону нуля или единицы для любого $k\in\mathbb{N}$ и любого положительного иррационального $\alpha$, а также для любого рационального $\alpha>1$, отличного от $1+1/l$ (для любого натурального числа $l$). Известно также, что для всех остальных рациональных положительных $\alpha$ при достаточно больших $k$ случайный граф не подчиняется $k$-закону. В настоящей работе при $\alpha=1+1/l$ получены нижняя и верхняя оценка на наибольшее $k$, при котором выполнен $k$-закон нуля или единицы. Библиография: 20 наименований.