Firing Patterns in the Parallel Chip-Firing Game

Abstract

The $\textit{parallel chip-firing game}$ is an automaton on graphs in which vertices "fire'' chips to their neighbors. This simple model, analogous to sandpiles forming and collapsing, contains much emergent complexity and has connections to different areas of mathematics including self-organized criticality and the study of the sandpile group. In this work, we study $\textit{firing sequences}$, which describe each vertex's interaction with its neighbors in this game. Our main contribution is a complete characterization of the periodic firing sequences that can occur in a game, which have a surprisingly simple combinatorial description. We also obtain other results about local behavior of the game after introducing the concept of $\textit{motors}$. Le $\textit{parallel chip-firing game}$, c’est une automate sur les graphiques, dans lequel les sommets “tirent” des jetons à leurs voisins. Ce modèle simple, semblable aux tas de sable qui forment et s’affaissent, contient beaucoup de complexité émergente et a des connections avec différents domaines de mathématiques, incluant le $\textit{self-organized criticality}$ et l’étude du $\textit{sandpile group}$. Dans ce projet, on étudie les $\textit{firing sequences}$, qui décrivent les interactions de chaque sommet avec ses voisins dans le jeu. Notre contribution principale est une caractérisation complète des séquences de tir qui peuvent arriver dans une jeu, qui ont une description combinatoire assez simple. Nous obtenonsaussi d'autres résultats sur le conduite locale du jeu après l’introduction du concept des $\textit{motors}$.