Finite-time singularity of the stochastic harmonic map flow

Abstract

Nous analysons ici l’influence d’un bruit gaussien infini-dimensionnel sur le phénomène de bubbling relatif au flot stochastique des applications harmoniques $u(t,\cdot):\mathbb{D}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$, du disque unité vers la sphère. On suppose que le terme de diffusion est ponctuellement de rang un dans le plan tangent $T_{u(t,x)}\mathbb{S}^{2}$, de sorte que le bruit préserve la symétrie 1-corotationnelle des solutions. Sous l’hypothèse que sa corrélation spatiale est de trace finie (dans un espace de Hilbert ah hoc), nous montrons que le bruit engendre une singularité avec probabilité non nulle. Ce scénario se produit indépendamment du choix de la condition initiale, pourvu qu’elle soit 1-corotationnelle.