Abstract
In this paper we consider some families of smooth rational curves of degree 2, 3 and 4 on a smooth Fano threefold X which is a linear section of the Grassmanian G(1, 4) under the Pl¨ucker embedding. We prove that these families are irreducible. The proof of the irreducibility of the families of curves of degree d is based on the study of degeneration of a rational curve of degree d into a curve which decomposes into an irreducible rational curve of degree d−1 and a projective line intersecting transversally at a point. We prove that the Hilbert scheme of curves of degree d on X is smooth at the point corresponding to such a reducible curve. Then calculations in the framework of deformation theory show that such a curve varies into a smooth rational curve of degree d. Thus, the set of reducible curves of degree d of the above type lies in the closure of a unique component of the Hilbert scheme of smooth rational curves of degree d on X. From this fact and the irreducibility of the Hilbert scheme of smooth rational curves of degree d on the Grassmannian G(1, 4) one deduces the irreducibility of the Hilbert scheme of smooth rational curves of degree d on a general Fano threefold X.
Highlights
ВведениеВ настоящей статье изучаются семейства гладких рациональных кривых малой степени на гладком трехмерном многообразии Фано X, являющимся линейным сечением грассманиана G(1, 4) прямых пространства P4, вложенного в пространство P9 по Плюккеру:
Мы доказываем, что эти семейства являются неприводимыми многообразиями
In this paper we consider some families of smooth rational curves of degree 2
Summary
В настоящей статье изучаются семейства гладких рациональных кривых малой степени на гладком трехмерном многообразии Фано X, являющимся линейным сечением грассманиана G(1, 4) прямых пространства P4, вложенного в пространство P9 по Плюккеру:. Они будут использованы в следующей работе автора для описания компонент многообразий модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 с малыми классами Черна на X посредством конструкции Серра. Рациональных кубик и рациональных квартик на общем многообразии Фано X являются неприводимыми
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have