Extinction times of multitype continuous-state branching processes

Abstract

Un processus de branchement multitype, continu (MCSBP) Z=(Zt)t≥0, est un processus de Markov à valeurs dans [0,∞)d qui satisfait à la propriété de branchement. Sa loi est caractérisée par son mécanisme de branchement qui est donné par d exposants de Laplace de processus de Lévy spectralement positifs, à valeurs dans Rd, chacun d’entre eux possédant d−1 coordonnées croissantes. Nous donnons une expression de la probabilité pour un MCSBP de tendre vers 0 à l’infini en terme de son mécanisme de branchement. Nous montrons que cette extinction a lieu en un temps fini si et seulement si une certaine condition portant sur le mécanisme de branchement est satisfaite. Cette condition étend la condition de Grey bien connue en dimension 1. Nos arguments portent sur des éléments de théorie des fluctuations pour les champs de Lévy additifs, spectrallement positifs récemment établis en (Electron. J. Probab. 25 (2020) 26) ainsi qu’une extension de la représentation de Lamperti en dimension supérieure obtenue en (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 53 (2017) 1280–1304).