Extensions of commutative rings in which trees of prime ideals contract to trees

Abstract

Une extensionA⊂B des anneaux (commutatifs) satisfait a la propriete si tout arbre dans Spec(B) couvre un arbre dans Spec(A). Il est possible qu'une extension entiere d'un anneau Noetherien ne satisfait pas a . SiA⊂B soit unei-extension satisfaisante a soit “going-up” soit “going-down”, alorsA⊂B satisfait a . Cependant, une extension d'anneaux satisfaisante a “going-up”, “going-down”, et peut etre nonunibranche dans hauteur >1. Un anneau integreA a le spectre d'un arbre si et seulement siA⊂B satisfait aP pour tout anneau integreB contenantA (resp., suranneau de BezoutB deA). De plus, si un anneau integreA n'ait pas de spectre d'un arbre mais soit localement de dimension finie, (par exemple, tout anneau integre Noetherien de dimension au moins 2), alors il existe un suranneau de BezoutB deA et un arbre sature dans Spec(B) de sorte que card=4 et l'image de a l'egard de la fleche canonique Spec(B)→Spec(A) est un ensemble sature tel que card =3 mais n'est pas d'arbre. On donne egalement des caracterisations associees des classes desi-domaines et des ai-domaines.