Existence of Stein kernels under a spectral gap, and discrepancy bounds

Abstract

Nous prouvons l’existence de noyaux de Stein pour les mesures de probabilites sur $\mathbb{R}^{d}$ satisfaisant une inegalite de Poincare, et obtenons des bornes sur la discrepance de Stein de telles mesures. Des applications au theoreme central limite sont donnees, dont une nouvelle borne sur la vitesse de convergence en distance de Kantorovitch–Wasserstein $W_{2}$ avec un taux et une dependance en la dimension optimales. Comme corollaire, nous obtenons une version quantitative d’une borne sur la constante de Poincare de mesures de probabilites satisfaisant une contrainte sur le moment d’ordre 2. Les resultats sont plus generalement valides dans le cadre de mesures verifiant une inegalite de Poincare a poids inversee. La preuve est basee sur des arguments simples d’analyse fonctionnelle. De plus, nous demontrons deux proprietes generales sur la discrepance de Stein, valide des lors qu’un noyau de Stein existe : la discrepance de Stein est strictement decroissante le long du TCL, et elle controle le moment d’ordre 3 d’un vecteur aleatoire.