Eta-diagonal distributions and infinite divisibility for R-diagonals

Abstract

Dans le cadre des probabilités libres, la classe des $*$-distributions $R$-diagonales est assez bien comprise. Dans cette classe, nous nous intéressons au concept d’infinie divisibilité par rapport à l’opération de convolution additive libre $\boxplus$. Nous exploitons la relation entre probabilités libres et le monde parallèle (et plus simple) des probabilités booléennes. Il est naturel d’introduire le concept de distributions $\eta$-diagonales, qui sont la contrepartie booléenne des distributions $R$-diagonales. Nous établissons un certain nombre de propriétés des distributions $\eta$-diagonales, avant d’examiner la bijection canonique reliant les distributions $\eta$-diagonales aux distributions $R$-diagonales indéfiniment divisibles. Le résultat principal est la paramétrisation par une paire de mesures boreliennes sur $[0,\infty)$ à support compact de toutes les lois $R$-diagonales $\boxplus$-indéfiniment divisibles pouvant apparaître dans un $C^{*}$-espace de probabilités. Parmi les applications de cette paramétrisation, nous montrons que l’ensemble des distributions $R$-diagonales $\boxplus$-indéfiniment divisibles est fermé sous l’opération $\boxtimes$ de convolution multiplicative libre.