Abstract
We devote this work to investigate the solutions of a generalized diffusion equation which contains spatial fractional derivatives and nonlinear terms. The presence of external forces and absorbent terms is also considered. The solutions found here can have a compact or long tail behavior. Particularly in the last case in the asymptotic limit, we relate these solutions to the Levy or Tsallis distributions. In addition, from the results presented here, a rich class of diffusive processes, including normal and anomalous ones, can be obtained.
Highlights
Recentemente, as equações de difusão que generalizam a equação de difusão usual por empregarem derivadas fracionárias ou termos não lineares, têm recebido considerável atenção devido sua grande variedade de aplicações em física, em particular, à fenômenos que possuem difusão anômala
BOLOGNA, M. et al Anomalous diffusion associated with nonlinear fractional derivative Fokker-Planck-like equation: Exact time-dependent solutions
TSALLIS, C.; BUKMAN, D.J. Anomalous diffusion in the presence of external forces: Exact time-dependent solutions and their thermostatistical basis
Summary
Investigaremos as soluções dependentes do tempo para a equação (1) utilizando o método de similaridade para reduzi-lá a uma equação diferencial ordinária. Observando que a forma explícita da equação que será obtida depende das condições de contorno ou de restrições impostas pelas leis de conservação, e.g., a condição de normalização. Como estamos interessados em soluções para uma equação de difusão vamos considerar em nossas investigações soluções que são do tipo: ρ Estas soluções devem satisfazer as condições de contorno, inicial e de normalização, quando α′(t) = 0. Onde ρ ( x,t ) é a função a ser determinada, sendo ela dada pela equação (2) e μ =1. Desta forma, deixamos para uma etapa posterior o estudo do caso μ ≠ 1 e suas soluções. Aplicando estas considerações na equação (1) obtemos: D
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