Elliptic curves with {\mathbb{Q}}({\mathcal{E}}[3])= {\mathbb{Q}}(\zeta _3) and counterexamples to local-global divisibility by 9

Abstract

Nous donnons une famille F h,β de courbes elliptiques, dependant de deux parametres rationnels non nuls β et h, telle que nous avons la propriete suivante: soit e une courbe elliptique et soit e[3] son sous-groupe de 3-torsion. On a que ℚ(e[3]) = ℚ(ζ 3 ) si et seulement si e est une courbe de la famille F h,β . De plus, nous considerons le probleme de la divisibilite locale-globale par 9 pour les points d'une courbe elliptique. Le nombre 9 est une des rares puissances d'un nombre premier pour laquelle on ne connait pas la reponse a la divisibilite locale-globale dans le cas de tels groupes algebriques. Dans ce papier nous donnons une reponse negative. Nous exhibons des courbes de la famille F h,β , avec des points qui sont localement divisibles par 9 presque partout, mais qui ne sont pas globalement divisibles par 9, sur un corps de nombres de degre au plus 2 sur ℚ(ζ 3 ).