Efficient asymptotics of solutions to the Cauchy problem with localized initial data for linear systems of differential and pseudodifferential equations

Abstract

Начальные данные в задаче Коши мы называем локализованными, если они задаются функциями, сосредоточенными в окрестности подмногообразия положительной коразмерности, причeм размер окрестности зависит от малого параметра и вместе с ним стремится к нулю. Хотя решения линейных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с локализованными начальными данными составляют относительно узкий подкласс множества всех решений, они очень важны с точки зрения физических приложений. Такие решения возникают во многих разделах математической физики. Они описывают распространение возмущений различной природы (будь то волны цунами, вызванные подводным землетрясением, или электромагнитные волны, излучаемые антеннами), и их исследованию (в том числе асимптотическому) посвящена обширная литература. Эффективными естественно называть асимптотики, позволяющие исследовать задачу достаточно быстро и с достаточно скромными вычислительными затратами. Понятие эффективности зависит от доступного вычислительного инструментария и значительно изменилось с появлением программных систем Wolfram Mathematica, MatLab и им подобных, обеспечивающих принципиально новые возможности оперативной реализации и визуализации математических построений, но и предъявляющих к конструкции асимптотик новые требования. В статье даeтся обзор современных методов построения эффективных асимптотик в задачах с локализованными начальными данными. Рассматриваемый класс уравнений и систем включает уравнения Шрeдингера и Дирака, уравнения Максвелла, линеаризованные уравнения газо- и гидродинамики, уравнения линейной теории волн на воде, теории упругости, акустики и т. д. Библиография: 109 названий.