Effects of the threshold function form for wavelet noise reduction with generalized cross-validation method

Abstract

Noisy data are often fitted using a smoothing parameter, controlling the importance of two objectives that are opposite to a certain extent. One of these two is smoothness and the other is closeness to the input data. The optimal value of this paramater minimizes the error of the result (as compared to the unknown, exact data), usually expressed in the L2 norm. This optimum cannot be found exactly, simply because the exact data are unknown. In spline theory, the generalized cross validation (GCV) technique has proved to be an effective (though rather slow) statistical way for estimating this optimum. On the other hand, wavelet theory is well suited for signal and image processing. This paper investigates the possibility of using GCV in a noise reduction algorithm, based on wavelet-thresholding, where the threshold can be seen as a kind of smoothing parameter. The GCV method thus allows choosing the (nearly) optimal threshold, without knowing the noise variance. Both an original theoretical argument and practical experiments are used to show this successful combination.Verrauschte Daten werden oft mit Hilfe eines Glättungsparameters, der den Einfluβ von zwei bis zu einem gewissen Grad gegensätzlichen Zielen kontrolliert, angepaβt. Eines dieser beiden Ziele ist Glattheit, das andere ist Ähnlichkeit zu den Eingangsdaten. Der optimale Wert dieses parameters minimiert den Fehler des Ergebnisses (im Vergleich zu den unbekannten genauen Daten). Dieser Fehler wird üblicherweise im Sinn der L2-Norm ausgedrückt. Dieses Optimum kann nicht genau gefunden werden, weil die exakten Daten unbekannt sind. In der Theorie der Splines hat sich die Methode der “Generalized Cross Validation” (GCV) als wirksames (Wenngleich eher langsames) statistisches Werkzeug für die Schätzung dieses Optimums erwiesen. Andererseits ist die Wavelet-Theorie gut geeignet für die Signal- und Bildverarbeitung. In diesem Artikel untersuchen wir die Anwendung der GCV-Methode in einem auf Wavelet-Thresholding basierenden Rauschreduktions-Algorithmus, wobei die Schwelle als eine Art von Glättungsparameter angesehen werden kann. Die GCV-Methode erlaubt dabei die Wahl der (beinahe) optimalen Schwelle ohne Kenntnis der Rauschvarianz. Wir zeigen die Wirksamkeit dieser Kombination mit einem neuen theoretischen Argument und mit praktischen Experimenten.Les données bruitées sont souvent adaptées en utilisant un paramètre de lissage, contrôlant l'importance de deux objectifs qui sont dans une certaine mesure contradictoires. L'un est le lissage des données, l'autre l'exactitude par rapport aux données d'entrée. La valeur optimale de ce paramètre minimise l'erreur du résultat (comparé aux données exactes, inconnues), en général exprimée par rapport à la norme L2. Cet optimum ne peut pas être trouvé exactement, tout simplement parce que les données exactes sont inconnues. Dans la théorie des splines, la technique de cross-validation généralisée (CVG) a montré son efficacité (méme si elle est lente) comme moyen statistique pour estimer cet optimum. D'un autre côté, la théorie des ondelettes est bien adaptée au traitement des signaux et images. Cet article examine la possibilité d'utiliser la CVG dans un algorithme de réduction de bruit basé sur le seuillage par ondelettes, où le seuil peut être vu comme une sorte de paramètre de lissage. La méthode de CVG permet donc le choix du seuil (presque) optimal, ce sans connaître la variance du bruit. On utilise à la fois un argument théorique original et des expériences pratiques pour montrer l'efficacité de cette combinaison.