Edgeworth expansions for profiles of lattice branching random walks

Abstract

Nous considerons une marche branchante sur $\mathbb{Z}$ en temps discret. Soit $L_{n}(k)$ le nombre de particules au site $k\in\mathbb{Z}$ au temps $n\in\mathbb{N}_{0}$. Nous appelons profil de la marche branchante (au temps $n$) la fonction $k\mapsto L_{n}(k)$. Nous etablissons le developpement asymptotique suivant pour $L_{n}(k)$, lorsque $n\to\infty$ : \begin{equation*}\mathrm{e}^{-\varphi(0)n}L_{n}(k)=\frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x_{n}^{2}(k)}}{\sqrt{2\pi\varphi(0)n}}\sum_{j=0}^{r}\frac{F_{j}(x_{n}(k))}{n^{j/2}}+o(n^{-\frac{r+1}{2}})\quad \text{p.s.},\end{equation*} ou $r\in\mathbb{N}_{0}$ est arbitraire, $\varphi(\beta)=\log\sum_{k\in\mathbb{Z}}\mathrm{e}^{\beta k}\mathbb{E}L_{1}(k)$ est la fonction generatrice des cumulants de l’intensite de la marche branchante, et \begin{equation*}x_{n}(k)=\frac{k-\varphi'(0)n}{\sqrt{\varphi(0)n}}.\end{equation*} Le developpement est valable uniformement en $k\in\mathbb{Z}$ avec probabilite $1$ et les $F_{j}$ sont des polynomes dont les coefficients aleatoires s’expriment a l’aide des derivees de $\varphi$ et des derivees de la limite de la martingale de Biggins en $0$. En utilisant une deformation exponentielle, nous etablissons aussi des developpements plus generaux qui couvrent tout le spectre de la marche branchante a l’exception des valeurs extremes. Comme application de ce developpement pour $r=0,1,2$ nous retrouvons de facon unifiee plusieurs resultats connus et montrons de nouveaux theoremes limite. En particulier, nous etudions le comportement p.s. des nombres d’occupation $L_{n}(k_{n})$, ou $k_{n}\in\mathbb{Z}$ depend de $n$ de facon reguliere. Nous montrons aussi un theoreme limite p.s. pour le mode $\mathop{\operatorname{arg\,max}}_{k\in\mathbb{Z}}L_{n}(k)$ et la hauteur $\max_{k\in\mathbb{Z}}L_{n}(k)$ du profil. Le comportement asymptotique de ces quantites depend de si le parametre de la derive $\varphi'(0)$ est entier, rationnel, ou irrationnel. D’autres applications de nos resultats aux profils d’arbres aleatoires, incluant les arbres de recherche binaires et les arbres aleatoires recursifs, seront donnes dans un autre article.