Edge of spiked beta ensembles, stochastic Airy semigroups and reflected Brownian motions

Abstract

Nous accedons a l’extremite du spectre des ensembles beta gaussiens avec perturbation de rang un par l’entremise de grandes puissances des matrices tridiagonales qui y sont associees. Pour les valeurs traditionnelles $\beta =1,2,4$, ceci correspond a l’etude des fluctuations des valeurs propres maximales des matrices aleatoires GOE/GUE/GSE assujetties a une perturbation additive de rang un. En dimensions infinies, nos resultats nous menent vers une famille de semi-groupes de type Feynman–Kac qui, dans un cas extreme, correspond au stochastic Airy semigroup introduit par Gorin et Shkolnikov (Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344). De plus, nos resultats ont pour corollaire des formules de Feynman–Kac pour les spiked stochastic Airy operators introduits par Bloemendal et Virag (Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 795–825). Ces formules sont exprimees a l’aide de certaines fonctionnelles du mouvement brownien reflechi et de ses temps locaux. Ce faisant, les operateurs en question peuvent etre etudies a l’aide du calcul stochastique. Nous obtenons un premier resultat dans cette lignee en demontrant une nouvelle identite decrivant la distribution du mouvement brownien reflechi ayant ete conditionne sur son temps local a zero. La principale innovation de notre demonstration consiste en la preuve d’un nouveau resultat sur l’approximation forte du mouvement brownien reflechi et de son temps local par une marche aleatoire non negative en utilisant la methode de reflexion de Skorokhod.