Doubly Periodic Meromorphic Solutions of Autonomous Nonlinear Differential Equations

M V Demina,N A Kudryashov

doi:10.18255/1818-1015-2014-5-49-60

Abstract

The problem of constructing and classifying elliptic solutions of nonlinear differential equations is studied. An effective method enabling one to find an elliptic solution of an autonomous nonlinear ordinary differential equation is described. The method does not require integrating additional differential equations. Much attention is paid to the case of elliptic solutions with several poles inside a parallelogram of periods. With the help of the method we find elliptic solutions up to the fourth order inclusively of an ordinary differential equation with a number of physical applications. The method admits a natural generalization and can be used to find elliptic solutions satisfying systems of ordinary differential equations.

Highlights

With the help of the method we find elliptic solutions up to the fourth order inclusively of an ordinary differential equation with a number of physical applications
Сведения об авторах: Кудряшов Николай Алексеевич, Национальный Исследовательский Ядерный Университет МИФИ , доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики; Демина Мария Владимировна, Национальный Исследовательский Ядерный Университет МИФИ , кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

Summary

Введение

Автономные нелинейные дифференциальные уравнения, как обыкновенные, так и в частных производных, встречаются при описании многих процессов и явлений в физике, биологии, химии экономике и т. д. Д. В последние годы появилось большое количество работ, посвященных проблеме построения точных решений автономных нелинейных дифференциальных уравнений [1–12]. Среди наиболее известных методов отметим метод экспонент, методы тригонометрических и гиперболических функций, метод эллиптических функций Якоби, а также их различные модификации и обобщения. Следовательно, задача классификации точных решений является важной и актуальной. Целью настоящей работы является разработка метода построения и классификации двояко-периодических мероморфных решений (эллиптических решений) нелинейных дифференциальных уравнений. Любое автономное дифференциальное уравнение в частных производных E[u(x, t)] = 0 допускает переход к обыкновенному дифференциальному уравнению введением переменных бегущей волны u(x, t) = w(z), z = x − C0t,. Получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение E[w(z)] = 0 также является автономным. В разделе 2 дается подробное описание метода, позволяющего находить любое эллиптическое решение нелинейного автономного обыкновенного дифференциального уравнения. В разделе 3 четвертого порядка с двумя подходящими доминантными балансами и произвольными коэффициентами в соответствующих рядах Лорана

Эллиптические решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Примеры применения метода

Заключение