Dirichlet's contributions to mathematical probability theory

Abstract

Only a few short papers on probability and error theory by Peter Gustav Lejeune Dirichlet are printed in his Werke . However, during his Berlin period, Dirichlet quite frequently gave courses on probability theory or the method of least squares. Unpublished lecture notes reveal that he presented original methods, especially when deriving probabilistic limit theorems; e.g., the use of his discontinuity-factor. The following article discusses some central ideas in Dirichlet's printed papers and unpublished lectures on probability and error theory. These include his deduction of the approximately normal distribution of medians connected with a criticism of least squares as well as his improvement of Laplace's method of approximations relating not only to Stirling's formula but also to the treatment of the central limit theorem. Moreover, the study attempts to place the methods Dirichlet used in probability and error calculus within the broader context of his work in analysis. Nur einige kurze Artikel von Peter Gustav Lejeune Dirichlet zur Wahrscheinlichkeitsund Fehlerrechnung sind in seinen Werken gedruckt. Dirichlet hat aber während seiner Berliner Zeit recht häufig Vorlesungen fiber Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Methode der kleinsten Quadrate gehalten. Aus unveröffentlichten Vorlesungsmitschriften geht hervor, dab er gerade bei der Herleitung von Grenzwertsätzen eigene and neue Methoden, z.B. die Verwendung seines Diskontinuitätsfaktors vorgestellt hat. In folgender Arbeit werden Schwerpunkte der gedruckten Arbeiten and der Vorlesungen von Dirichlet fiber Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben: Grenzwertsatz für Mediane and Kritik der Methode der kleinsten Quadrate, Fortentwicklung der Laplaceschen Methode für Approximationen im Hinblick auf die Stirlingsche Formel and die Behandlung des zentralen Grenzwertsatzes. Auberdem wird versucht, die von Dirichlet in Wahrscheinlichkeits- and Fehlerrechnung verwendeten Methoden in den Zusammenhang seiner analytischen Arbeiten zu stellen. Les oeuvres publiées de Peter Gustav Lejeune Dirichlet ne contiennent que quelques rares et courts articles sur le calcul des probabilitds et les erreurs. Pourtant, alors qu'il était a Berlin, cc mathdmaticien avait assez fréquement donné des cours sur les probabilitds ou la méthode des moindres carrels: des manuscrits inédits de ses cours en témoignent et permettent de voir qu'à l'occasion de théorèmes sur les limites, il introduisit des méthodes nouvelles et originales, telle, par exemple, celle qui repose sur l'utilisation du facteur de discontinuity qui porte maintenant son nom. Dans le présent article, nous nous proposons de presenter certains aspects fondamentaux des travaux de Dirichlet publiés ou non et relatifs au calcul des probabilités, notamment: -la question de la determination de la distribution approximative des médianes, associée a une critique de la méthode des moindres carrels; -l'amélioration de la méthode d'approximation de Laplace relativement à la formule de Stirling et au traitement du théorème limite central. Nous nous efforcerons aussi de resituer les méthodes probabilistes de Dirichlet dans le contexte de ses travaux analytiques.