Diffusion chaos in the reaction–diffusion boundary problem in the dumbbell domain

S D Glyzin,P L Shokin

doi:10.3103/s0146411616070075

Abstract

We consider a boundary problem of the reaction–diffusion type in the domain that consists of two rectangular areas connected by a bridge. The bridge width is a bifurcation parameter of the problem and is changed in such way that the measure of the domain is preserved. The conditions on chaotic oscillations emergence have been studied and the dependence of invariant characteristics of the attractor on the bridge width has been constructed. The diffusion parameter has been chosen such that, in the case of widest possible bridge (corresponding to a rectangular domain), the spatially homogeneous cycle of the problem is orbitally asymptotically stable. By decreasing the bridge width, the homogeneous cycle loses stability; then, a spatially inhomogeneous chaotic attractor emerges. For the obtained attractor, we have calculated the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension and observed that the dimension grows as the parameter decreases, but is bounded. We have shown that the dimension growth is connected with the growing complexity of the distribution of stable solutions with respect to the space variable.

Highlights

Постановка задачиГде u = u(t, x) : R+ × Rk → Rm, 1 ≤ k ≤ 3, ∆ оператор Лапласа, диагональная матрица D имеет вид D = diag{d1, .
N внешняя нормаль к кусочно-гладкой границе ∂Ω ограниченной области Ω ⊂ Rk. Предположим, что у краевой задачи (1), (2) имеется пространственно однородный цикл u = u0(t) (u0(t + T ) ≡ u0(T )).
Для исследования его устойчивости линеаризуем на нем краевую задачу (1), (2).

Summary

Постановка задачи

Где u = u(t, x) : R+ × Rk → Rm, 1 ≤ k ≤ 3, ∆ оператор Лапласа, диагональная матрица D имеет вид D = diag{d1, . N внешняя нормаль к кусочно-гладкой границе ∂Ω ограниченной области Ω ⊂ Rk. Предположим, что у краевой задачи (1), (2) имеется пространственно однородный цикл u = u0(t) (u0(t + T ) ≡ u0(T )). Для исследования его устойчивости линеаризуем на нем краевую задачу (1), (2). Для применения к получившейся системе метода Фурье введем в рассмотрение собственные значения и собственные функции оператора. Рассмотрим следующую задачу: предположим, что величина ν относительно мала, однако больше, чем критическое значение, при котором однородный цикл теряет устойчивость. Что прямоугольники имеют фиксированную длину и ширину A × B, а перемычка имеет длину L, а ширину W. Рассмотрим характер потери устойчивости однородного цикла при указанном изменении Ω и определим инвариантные числовые характеристики возникающих при этом аттракторов задачи

Выбор параметров задачи на основе асимптотических методов

Разностная модель для численного анализа уравнения Гинзбурга – Ландау

Результаты численного эксперимента