Descent polynomials for permutations with bounded drop size

Abstract

Motivated by juggling sequences and bubble sort, we examine permutations on the set${1, 2, \ldots, n}$ with $d$ descents and maximum drop size $k$. We give explicit formulas for enumerating such permutations for given integers $k$ and $d$. We also derive the related generating functions and prove unimodality and symmetry of the coefficients. Motivés par les "suites de jonglerie'' et le tri à bulles, nous étudions les permutations de l'ensemble ${1, 2, \ldots, n}$ ayant $d$ descentes et une taille de déficience maximale $k$. Nous donnons des formules explicites pour l'énumération de telles permutations pour des entiers k et d fixés, ainsi que les fonctions génératrices connexes. Nous montrons aussi que les coefficients possèdent des propriétés d'unimodalité et de symétrie.