Derivative martingale of the branching Brownian motion in dimension d≥1

Abstract

On considère un mouvement brownien branchant dans Rd. Nous montrons qu’il existe presque sûrement un sous-ensemble aléatoire Θ de Sd−1 de mesure pleine tel que la limite de la martingale dérivée existe simultanément pour toutes les directions θ∈Θ. Cela nous permet de définir une mesure aléatoire sur Sd−1 dont la densité est donnée par la martingale dérivée. La preuve est basée sur des arguments de premier moment : nous approchons les martingales d’intérêt par une série de processus, qui ne prennent pas en compte les particules qui ont voyagé trop loin. Nous montrons que ces nouveaux processus sont des martingales uniformément intégrables dont les limites convergent vers les limites des martingales d’origine.