Abstract
Nous prouvons que certaines mesures de Gibbs non linéaires peuvent être obtenues à partir des états de Gibbs grand-canoniques du problème à N corps, dans une limite de champ moyen où la température T diverge et la constante de couplage se comporte comme 1/T. Nous commençons par caractériser les états de Gibbs en présence d’interactions comme minimiseurs d’une fonctionnelle comptant l’énergie libre relativement au cas sans interaction. Nous procédons ensuite à un analogue en dimension infinie d’une analyse semi-classique, en utilisant des propriétés fines de l’entropie relative quantique, le lien entre mesures de de Finetti et symboles supérieurs/inférieurs dans une base d’états cohérents, ainsi que des inégalités de type Berezin-Lieb. Nos résultats couvrent la mesure construite à partir de la fonctionnelle de Schrödinger non linéaire défocalisante sur un intervalle fini, ainsi que le cas d’interactions plus régulières en dimension supérieure.
Highlights
Nonlinear Gibbs measures have recently become a useful tool to construct solutions to time-dependent nonlinear Schrodinger equations with rough initial data, see for instance [34, 10, 11, 12, 13, 63, 15, 14, 62, 22, 20, 50]
The cubic nonlinear Schrodinger equation corresponds to w = cδ0, a Dirac delta
H > 0 a self-adjoint operator with compact resolvent on H and w 0 is self-adjoint on the symmetric tensor product H ⊗s H. In this introduction we describe our results informally, focusing for simplicity on the example of the physical energy E in (1.2), corresponding to H = L2(Ω), h = −∆ and w = w(x − y)
Summary
Nonlinear Gibbs measures have recently become a useful tool to construct solutions to time-dependent nonlinear Schrodinger equations with rough initial data, see for instance [34, 10, 11, 12, 13, 63, 15, 14, 62, 22, 20, 50]. Our strategy is based on a measure ν which can be constructed from the sequence of infinite-dimensional quantum Gibbs states [2, 3, 4, 5, 60, 31, 36, 53], in the same fashion as semi-classical measures in finite dimension [21] By an argument similar to the Feynman-Kac formula, one can write the (formal) grand-canonical partition function of a quantum field in space dimension d, by means of a (classical) nonlinear Gibbs measure in dimension d + 1, where the additional variable plays the role of time [48, 49].
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