DELAY MODELING OF MATHEMATICAL MODELS OF BIOLOGY AND IMMUNOLOGY

T Lunyk,I Cherevko

doi:10.31861/bmj2021.02.07

Abstract

Systems of diﬀerential-diﬀerence equations are mathematical models of many applied problems of biology, ecology, medicine, economics. The variety of mathematical models of real dynamic processes is due to the fact that their evolution does not occur instantaneously, but with some delays that have diﬀerent biological interpretations. The introduction of delay allows you to build adequate mathematical models and describe new eﬀects and phenomena in physics, ecology, immunology and other sciences. The exact solution of diﬀerential-diﬀerence equations can be found only in the simplest cases, so algorithms for ﬁnding approximate solutions of such equations are important. In this paper, a family of diﬀerence schemes is constructed for the approximate ﬁnding of solutions to initial problems with delay. Special cases are generalized Euler diﬀerence schemes. The conditions for the convergence of the generalized explicit Euler diﬀerence scheme are established. To automate the numerical simulation of systems with delays, an application program has been developed, which is used to approximate the solutions of SIR models with two delays.

Highlights

Побудова рiзницевих схем для диференцiальних рiвнянь iз запiзненнямРозв’язок початкової задачi (1)–(2) в точцi t0, взагалi кажучи, має тiльки праву похiдну
Ключовi слова i фрази: диференцiальнi рiвняння iз запiзненням, SIR модель iз запiзненням, рiзницева схема, числове моделювання
which is used to approximate the solutions of SIR models with two delays

Summary

Побудова рiзницевих схем для диференцiальних рiвнянь iз запiзненням

Розв’язок початкової задачi (1)–(2) в точцi t0, взагалi кажучи, має тiльки праву похiдну. Розглянемо схему побудови рiзницевих схем для числового розв’язання задачi (1)– (2) на вiдрiзку t ∈ [0, T ]. Будемо позначати через yn наближене значення точного розв’язку x(tn) в точцi t = tn. У випадку θ = 1 дiстаємо узагальнення неявної рiзницевої схеми Ейлера yn+1 = yn + hf (tn+1, yn+1, vn+1),. 1 а при θ = маємо узагальнення рiзницевої схеми трапецiй У загальному випадку початкової задачi для диференцiальних рiвнянь iз багатьма запiзненнями x (t) = f (t, x(t), x(t − τ1), . Тут vnj – апроксимацiя x(t − τj) при t = tn, яку обчислюємо за таким алгоритмом: vnj =. Значення vni j обчислюємо так: 1) Знаходимо номер i такий, що ti ≤ tn − τj < ti+1; 2)

Збiжнiсть рiзницевих схем

Комп’ютерне моделювання систем iз запiзненням