Cutoff for the Bernoulli–Laplace urn model with $o(n)$ swaps

Abstract

Nous étudions le temps de mélange de l’urne de Bernoulli–Laplace de paramètres $(n,k)$, où $k\in\{0,1,\ldots,n\}$. On considère deux urnes, chacune contenant $n$ boules, telles que combinées elles ont exactement $n$ boules rouges et $n$ boules blanches. A chaque étape du processus, on choisit au hasard $k$ boules dans chaque urne et on les échange. Nous montrons que si $k=o(n)$, le temps de mélange de cette chaîne de Markov exhibe un phénomène de coupure à l’instant $\frac{n}{4k}\log n$ avec une fenêtre d’ordre $\frac{n}{k}\log\log n$. Ceci donne une extension du théorème classique de Diaconis et Shahshahani qui traitait le cas $k=1$.