Abstract
We build the plethora of counterexamples to bi-parameter two weight embedding theorems. Two weight one parameter embedding results (which is the same as results of boundedness of two weight classical paraproducts, or two weight Carleson embedding theorems) are well known since the works of Sawyer in the 80’s. Bi-parameter case was considered by S. Y. A. Chang and R. Fefferman but only when underlying measure is Lebesgue measure. The embedding of holomorphic functions on bi-disc requires general input measure. In [9] we classified such embeddings if the output measure has tensor structure. In this note we give examples that without tensor structure requirement all results break down.
Highlights
Le résultat principal de cet article est la pléthore de contre-exemples qui révèlent que la question de plongement bornée à deux poids et à deux paramétre n’a aucune critère qui ressemble le critère pour le plongement bornée à deux poids et à un paramètre
Si la structure tensorielle de deuxième mesure est présente, nous avons démontré dans [9] que le critère de Carleson est nécessaire et suffisante pour l’imbedding
We consider here bi-linear bi-parameter dyadic paraproducts, that is the operators of the type f,g →
Summary
Le résultat principal de cet article est la pléthore de contre-exemples qui révèlent que la question de plongement bornée à deux poids et à deux paramétre n’a (peut être) aucune critère qui ressemble le critère pour le plongement bornée à deux poids et à un paramètre (bien connu comme l’imbedding de Carleson à deux poids, voir [14] et aussi [13]). Si la structure tensorielle de deuxième mesure est présente, nous avons démontré dans [9] que le critère de Carleson est nécessaire et suffisante pour l’imbedding. En plus nous avons démontré dans [9] que le critère de « boite » est aussi nécessaire et suffisante pour l’imbedding. We consider here bi-linear bi-parameter dyadic paraproducts, that is the operators of the type f,g →. For μ = m2 = Lebesgue measure on Q0, the criterion of boundedness of bi-linear bi-parameter dyadic paraproduct was found by S. Bi-linear paraproducts are building blocks for bi-linear PDO and, in particular, bi-linear Coifman–Meyer multipliers [6] They are very important in PDEs, e.g. in proving fractional Leibniz rules, used by Kato–Ponce. The reverses of the above inequalities hold: w,μ CE w,μ HC w,μ C w,μ Box
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
