Convergence of a sandpile model on a triangular lattice

Abstract

Мы даем обзор результатов о сходимости в песочных моделях. Мы доказываем для песочной модели на треугольной решетке результаты, аналогичные уже существующим для квадратной решетки. А именно: рассмотрим песочную модель на целых точках плоскости, положим $n$ песчинок в начало координат. Запустим процесс релаксации: если в некоторой вершине $z$ число песчинок не меньше ее степени (в этом случае говорим, что вершина $z$ нестабильна), перемещаем из $z$ в каждого из соседей $z$ по одной песчинке; повторяем эту операцию, пока есть нестабильные вершины. Мы доказываем, что носитель состояния $(n\delta_0)^\circ$, на котором процесс стабилизируется, растет со скоростью $\sqrt n$, и после ремасштабирования в $\sqrt n$ раз у $(n\delta_0)^\circ$ есть предел в $^*$-слабой топологии. Такой результат уже был показан У. Пежденом и Ч. К. Смартом для квадратной решетки (каждую вершину соединяем с четырьмя ближайшими соседями), мы распространяем его на треугольную (каждая вершина соединяется с шестью соседями) решетку. Библиография: 39 названий.