Control Problem Concerned With the Process of Heating a Thin Plate

Abstract

Previously, a mathematical model for the following problem was considered. On a part of the border of the right rectangle there is a heater with controlled temperature. It is required to find such a mode of its operation that the average temperature in some region reaches some given value. In this paper, we consider a boundary control problem associated with a parabolic equation on a right rectangle. On the part of the border of the considered domain, the value of the solution with control parameter is given. Restrictions on the control are given in such a way that the average value of the solution in some part of the considered domain gets a given value. The auxiliary problem is solved by the method of separation of variables, while the problem in consideration is reduced to the Volterra integral equation. In addition, the definition of the generalized solution of the given initialboundary problem is given in the article and the existence of such a solution is proved. The solution of Volterra’s integral equation was found by the Laplace transform method and the existence theorem for admissible control functions was proved. It is also shown that the initial value of the admissible control function is equal to zero using the change of variable in the integral equation. The proof of this comes from the fact that the kernels of the integral equations are positive and finite, and the system has a single-valued solution.Ранее была рассмотрена математическая модель следующей задачи. На части границы правого прямоугольника расположен нагреватель с регулируемой температурой. Требуется найти такой режим его работы, чтобы средняя температура в каком-либо районе достигала некоторого заданного значения. В данной работе рассматривается задача граничного управления, связанная с параболическим уравнением на правом прямоугольнике. На части границы рассматриваемой области указано значение решения с управляющим параметром. Ограничения на управление задаются таким образом, чтобы среднее значение решения в некоторой части рассматриваемой области принимало заданное значение. Вспомогательная задача решается методом разделения переменных, а рассматриваемая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра. Кроме того, в статье дается определение обобщенного решения данной начально-краевой задачи и доказывается существование такого решения. Методом преобразования Лапласа найдено решение интегрального уравнения Вольтерра и доказана теорема существования допустимых управляющих функций. Также показано, что начальное значение допустимой функции управления равно нулю с помощью замены переменной в интегральном уравнении. Доказательство этого исходит из того, что ядра интегральных уравнений положительны и конечны, а система имеет однозначное решение.