Abstract
The paper examines a new continuous projection second order method of minimization of continuously Frechet differentiable convex functions on the convex closed simple set in separable, normed Hilbert space with variable metric. This method accelerates common continuous projection minimization method by means of quasi-Newton matrices. In the method, apart from variable metric operator, vector of search direction for motion to minimum, constructed in auxiliary extrapolated point, is used. By other word, complex continuous extragradient variable metric method is investigated. Short review of allied methods is presented and their connections with given method are indicated. Also some auxiliary inequalities are presented which are used for theoretical reasoning of the method. With their help, under given supplemental conditions, including requirements on operator of metric and on method parameters, convergence of the method for convex smooth functions is proved. Under conditions completely identical to those in convergence theorem, without additional requirements to the function, estimates of the method's convergence rate are obtained for convex smooth functions. It is pointed out, that one must execute computational implementation of the method by means of numerical methods for ODEs solution and by taking into account the conditions of proved theorems.
Highlights
“Непрерывный метод проекции градиента второго порядка с переменной метрикой”, Журнал вычисл. матем. и матем. физ., 37:10 (1997), 1174–1182
Some auxiliary inequalities are presented which are used for theoretical reasoning of the method
Г. Малинов, “Версия непрерывного проекционного метода минимизации второго порядка с переменной метрикой”, Журнал Средневолжского математического общества, 16:1 (2014), 121–134
Summary
Рассмотрим задачу минимизации на простом множестве Q ⊂ H:. где Q – выпуклое замкнутое множество из сепарабельного гильбертова пространства H с нормой x = (x, x)1/2 ∀ x ∈ H; овражная функция f (x) определена и непрерывно дифференцируема по Фреше на H, с градиентами ∇f (x), удовлетворяющими условию. Непрерывный метод минимизации второго порядка с оператором проектирования. В общем случае НПММ называем непрерывный метод с проекционным оператором, зависящим от сложного векторного выражения, например, вида g(y(t)) + δ(t)h(v(t)), где, например, v(t) = v(y(t), ∇f (y(t)), g(y(t)), y(t) = φ(x(t), x (t)) – вектор-функция; δ(t) = 0 – скалярная или векторная функция; очевидно, что НМПГ частный случай НПММ [6]. В работе [4] доказана сходимость НМПГПМ второго порядка, но нет оценок скорости сходимости. В работе [6] предложен и исследован НПММПМ второго порядка с оператором PQ(z(t)) проектирования не в переменной, а обычной евклидовой метрике, порожденной исходной нормой из задачи (1.1) (где сложная функция z(t) = g(y(t)) + β(t)B(y(t))∇f (y(t)) есть комбинация векторного выражения и произведения оператора метрики и градиента сложной функции; y(t) = x(t) + α(t)x (t)); доказаны сходимость и экспоненциальная скорость сходимости метода. Цель предлагаемой работы полное исследование НПММПМ второго порядка с оператором проектирования в новой, переменной метрике (см. [7]), итеративный аналог которого проекционный обобщенный двухшаговый двухэтапный метод минимизации (ПОДМ) с оператором проектирования в переменной метрике [8]
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
