Construction of the Fuchs equation with four given finite critical points and a given reducible monodromy group in the resonance case

V V Amel’Kin,M N Vasilevich

doi:10.29235/1561-2430-2019-55-2-199-206

Abstract

One inverse problem of the analytic theory of linear differential equations is considered. Namely, the completely integrable Fuchs equation with four given finite critical points and a given reducible monodromy group of rank 2 on the complex projective line is constructed. Reducibility of the monodromy group of rank 2 means that 2×2-monodromy matrices (the generators of the monodromy group) can be simultaneously reduced by a linear nonsingular transformation to an upper triangular form. In so doing we study the case when the eigenvalue ξj of the diagonal matrix of the monodromy formal exponent at a corresponding Fuchs critical point is equal to an integer different from zero (resonance takes place).

Highlights

– комплексная проективная прямая, На открытом множестве M = X \ M αj, j = 1, n, – произвольные точки рассмотрим уравнение Фукса на пряj 1
Reducibility of the monodromy group of rank 2 means that 2×2-monodromy matrices can be simultaneously reduced by a linear nonsingular transformation to an upper triangular form
In so doing we study the case when the eigenvalue ξj of the diagonal matrix of the monodromy formal exponent at a corresponding Fuchs critical point is equal to an integer different from zero

Summary

ГРУППОЙ МОНОДРОМИИ В РЕЗОНАНСНОМ СЛУЧАЕ

Рассматривается одна обратная задача аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Именно на комплексной проективной прямой строится вполне интегрируемое уравнение Фукса с четырьмя заданными конечными особыми точками и заданной приводимой группой монодромии ранга 2, т. Е. такой группой монодромии, когда 2×2-матрицы монодромии (образующие группы монодромии) можно одним линейным невырожденным преобразованием одновременно привести к верхнему треугольному виду. При этом исследуется тот случай, когда собственное значение ξj диагональной матрицы формального показателя монодромии в соответствующей фуксовой особой точке равно целому числу, отличному от нуля (имеет место резонанс). Ключевые слова: уравнение Фукса, особая точка, матрица монодромии, приводимая группа монодромии, фундаментальная матрица. В. Построение уравнения Фукса с четырьмя заданными конечными особыми точками и приводимой группой монодромии в резонансном случае / В.

Uj x α j

Uj z αj

Список использованных источников