Construction of points realizing the regular systems of Wolfgang Schmidt and Leonard Summerer

Abstract

Récemment, W. M. Schmidt et L. Summerer ont introduit une nouvelle théorie qui leur permet de redémontrer les principales inégalités connues liant les exposants d’approximation diophantienne d’un point de ℝ n , et d’en trouver de nouvelles. Ils montrent d’abord comment la plupart de ces exposants peuvent être calculés en termes des minima successifs d’une famille de convexes à un paramètre attachée à ce point. Puis ils démontrent que ces minima peuvent, à leur tour, être approchés par une certaine classe de fonctions dites de type (n,γ). Ils ramènent ainsi le problème initial à l’étude de ces fonctions. Pour compléter la théorie, on voudrait savoir si, en retour, étant donné une fonction de ce type, il existe un point de ℝ n dont les minima de la famille de convexes correspondante approchent cette fonction. On montre ici que tel est le cas pour les fonctions dites régulières.