Construction of optimal interpolation formula exact for trigonometric functions by Sobolev’s method

Abstract

The paper is devoted to derivation of the optimal interpolation formula in W2(0,2)(0,1) Hilbert space by Sobolev’s method. Here the interpolation formula consists of a linear combination ΣNβ=0Cβφ(xβ) of the given values of a function φ from the space W2(0,2)(0,1). The difference between functions and the interpolation formula is considered as a linear functional called the error functional. The error of the interpolation formula is estimated by the norm of the error functional. We obtain the optimal interpolation formula by minimizing the norm of the error functional by coefficients Cβ(z) of the interpolation formula. The obtained optimal interpolation formula is exact for trigonometric functions sinx and cosx. At the end of the paper we give some numerical results which confirm the numerical convergence of the optimal interpolation formula. Работа посвящена построению оптимальной интерполяционной формулы методом Соболева в гильбертовом пространстве W2(0,2)(0,1). Здесь интерполяционная формула состоит из линейной комбинации ΣNβ=0Cβφ(xβ) заданных значений функции φ из пространство W2(0,2)(0,1). Отличие функций от интерполяционной формулы рассматривается как линейный функционал, называемый функционалом погрешности. Погрешность интерполяционной формулы оценивается нормой функционала погрешности. Мы получаем оптимальной интерполяционной формулы путем минимизации нормы функционала погрешности на коэффициенты Cβ(z) интерполяционной формулы. Полученная оптимальная интерполяция формула точна для тригонометрических функций sinx и cosx. В конце статьи мы приводим некоторые численные результаты, которые подтверждают наши теоретические результаты.