Connected components of the strata of the moduli spaces of quadratic differentials

Abstract

Dans des travaux maintenant classiques, Masur [14] et Veech [21] ont demontre independamment que le flot geodesique de Teichmuller est ergodique sur chaque composante connexe de chaque strate de l'espace des modules des differentielles quadratiques. Il devient des lors interessant d'avoir une description de ces composantes ergodiques. Veech a montre que ces strates ne sont pas necessairement connexes. Dans un article recent, Kontsevich et Zorich [8] donnent une description complete des composantes dans le cas particulier ou les differentielles quadratiques sont donnees par le carre de differentielles abeliennes. Dans cet article, nous considerons le cas complementaire. Dans un precedent article [11], nous montrions que les strates ne sont pas forcement connexes. Nous donnions une serie de strates non-connexes possedant des composantes connexes hyperelliptiques. Dans cet article, nous demontrons le theoreme general annonce dans [11]: excepte quatre cas particuliers en petits genres, les strates de l'espace des modules des differentielles quadratiques ont au plus deux composantes connexes, les cas de non-connexite etant decrits exactement par [11]: une composante est hyperelliptique, l'autre non. Notre preuve repose principalement sur une nouvelle approche des differentielles quadratiques de type Jenkins-Strebel, a savoir la notion de permutations generalisees.