Conjugacy classes and factorised groups

Abstract

[ES] Un problema clasico en la teoria de grupos finitos es el estudio de como los tamanos de las clases de conjugacion influyen sobre la estructura del grupo. En las ultimas decadas, numerosos investigadores han obtenido nuevos avances en esta linea. Especialmente, se han probado resultados interesantes a partir de la informacion proporcionada por los tamanos de clase de algun subconjunto de elementos del grupo, como los elementos de orden potencia de primo, elementos p-regulares, etc. Ademas, ciertos subconjuntos de elementos definidos a traves de la tabla de caracteres del grupo estan siendo investigados recientemente, como los elementos anuladores y los elementos reales. Por otra parte, en los ultimos anos, el estudio de grupos factorizados como producto de subgrupos ha sido objeto de creciente interes. En particular, diversos autores han analizado la estructura de grupos factorizados en los que diferentes familias de subgrupos de los factores satisfacen ciertas condiciones de permutabilidad. En esta tesis pretendemos conjugar ambas perspectivas de actualidad en la teoria de grupos de manera novedosa. Asi, en este contexto de literatura escasa, el objetivo es obtener nuevas contribuciones acerca de la estructura global de un grupo factorizado a partir de ciertas propiedades aritmeticas de los tamanos de las clases de algunos elementos de sus factores. Estudiamos productos de dos subgrupos, eventualmente mutuamente permutables, donde los elementos (p-regulares) de orden potencia de primo de los factores tienen tamanos de clase libres de cuadrados. Analizamos el caso de tamanos de clase potencias de primos para grupos factorizados arbitrarios, evitando el uso de condiciones de permutabilidad entre los factores involucrados. El concepto de una core-factorizacion de un grupo, que extiende en particular a los productos mutuamente permutables, es introducido por primera vez en esta tesis y ha resultado crucial dentro de este contexto. Esta nocion surge precisamente cuando consideramos las anteriores propiedades aritmeticas para los tamanos de clase de elementos anuladores, interrelacionando novedosamente la teoria de caracteres con la investigacion en grupos factorizados. Finalmente, estudiamos grupos que poseen una core-factorizacion cuyos tamanos de clase de pi-elementos (de orden potencia de primo) son pi-numeros o pi'-numeros.; [CAT] Un problema classic dins de la teoria de grups finits es l'estudi de com els tamanys de les classes de conjugacio influeixen sobre l'estructura del grup. En les ultimes decades, nombrosos investigadors han obtingut nous avancos en aquesta linia. Especialment, s'han provat resultats interessants a partir de la informacio proporcionada pels tamanys de classe d'algun subconjunt d'elements del grup, com els elements d'ordre potencia de primer, elements p-regulars, etc. A mes, certs subconjunts d'elements definits a traves de la taula de caracters del grup estan sent investigats recentment, com els elements anul·ladors i els elements reals. D'altra banda, en els ultims anys, l'estudi de…