Conditioning a Brownian loop-soup cluster on a portion of its boundary

Abstract

Dans le present article, nous etudions certaines proprietes des amas de lacets browniens, dans une soupe de lacets browniens d’intensite $c$ dans un domaine du plan, pour toute intensite $c\le 1$. Notre principal resultat dit que si l’on decouvre de maniere Markovienne une portion $\partial $ du bord exterieur d’un tel amas, alors dans le domaine restant, la loi conditionnelle de l’union de tous les lacets dans $L$ qui touchent $\partial $ satisfait la propriete de restriction conforme tandis que les autres lacets dans $L$ forment une soupe de lacets independante. Ceci implique en particulier l’existence d’une transition de phase a $c=14/15$ pour la connectivite de l’ensemble des lacets qui touchent $\partial $. Nos resultats constituent une extension de certains resultats de notre papier (J. Eur. Math. Soc. (2019) to appear) dans les deux directions suivantes: Dans (J. Eur. Math. Soc. (2019) to appear), un cluster de lacets est conditionne par son bord exterieur entier tandis que nous decouvrons ici seulement une partie de ce bord. En outre, dans (J. Eur. Math. Soc. (2019) to appear), nous expliquons que la description que nous donnons de l’ensemble des lacets qui touchent ce bord via un processus ponctuel de Poisson d’excursions est specifique au cas de la soupe de lacets critique ($c=1$), nous montrons ici que dans les cas sous-critiques $c<1$, une propriete plus faible de restriction conforme reste neanmoins vraie.