Composantes isotypiques de pro-$p$-extensions de corps de nombres et $p$-rationalite

Abstract

Soit p un nombre premier et soit K/k une extension galoisienne finie de corps de nombres de groupe de Galois ∆ d’ordre etranger a p. Soit S un ensemble fini de places finies de k contenant l’ensemble S p des places p-adiques et soit KS la pro-p-extension maximale de K non-ramifiee en dehors de S. Soi tG:“GS{Hun quotient de GS:“Gal KS/K) sur lequel ∆ agit trivialement. Posons X:“H{rH, Hs. Dans ce travail,nous etudions la φ-composante X φ de X pour les caracteres Qp-irreductibles φ de ∆ et nous montrons entre autres, sous la conjecture de Leopoldt et pour tout caractere non trivial φ, que X φ est ZpvGw-libre si et seulement si la φ-composante de la Zp-torsion de Gs /{Gs, Gs est triviale. Nous faisons egalement une etude numerique sur la liberte de Xφ dans des extensions cycliques K{Qde degre 3 et de degre 4 (`a partir de familles de polynomes donnees par Balady, Lecacheux et plus recemment par Balady et Washington),et ainsi que dans des extensions diedrales de degre 6 de Q. Les resultats de nos calculs renforcent une recente conjecture de Gras