Abstract
In this paper, we consider the compact difference approximation of the fourth and second-order schemes on a three-point stencil for Klein–Gordon equations with variable coefficients. Despite the linearity of the differential and difference problems, it is not possible in this case to apply the well-known results on the theory of stability of three-layer operator-difference schemes by A. A. Samarskii. The main purpose is to prove the stability with respect to the initial data and the right-hand side of compact difference schemes in the grid norms L 2 (W h ), W 1 2 (W h ), C (W h ). Using the method of energy inequalities, the corresponding a priori estimates, expressing the stability and convergence of the solution to the difference problem with the assumption h ≤ = h 0, h 0 = const, τ≥h is obtained. The conducted numerical experiment shows how Runge rule is used to determine the different orders of the convergence rate of the difference scheme in the case of two independent variables.
Highlights
Despite the linearity of the differential and difference problems, it is not possible in this case to apply the well-known results on the theory of stability of three-layer operator-difference schemes by A
The main purpose is to prove the stability with respect to the initial data and the right-hand side of compact difference schemes in the grid norms L2(ωh ), W21(ωh ), C(ωh )
Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат
Summary
Выражающая ρ-устойчивость решения разностной схемы (4)–(6) по начальным данным, правой части в сеточных нормах L2 (ωh ), W21(ωh ), C(ωh ). Поставляя y= z + u в разностные уравнения (4)–(6), где u – решение задачи (1)–(3), получим для погрешности z задачу z tt. Тогда решение разностной схемы (4)–(6) сходится к точному решению дифференциальной задачи (1)–(3) в сеточных нормах L2 (ωh ), W21(ωh ), C(ωh ) и для ее решения имеет место оценка точности. Здесь порядок сходимости по временной и пространственной переменным в норме L∞ определяется по следующим формулам:. Так как разностное решение сходится к точному решению с четвертым порядком по пространству и вторым по времени, то для проверки скорости сходимости вдоль временного направления мы берем такие шаги h и τ, чтобы выполнялось неравенство h4 ≤ τ2. 1, 2 отражена скорость сходимости приближенного решения к точному. Скорость сходимости по пространственному направлению Table 1. Скорость сходимости по временному направлению Table 2.
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
