Commuting Difference Operators and the Combinatorial Gale Transform

Abstract

Построена спектральная теория $n$-периодических строго треугольных разностных операторов $L=T^{-k-1}+\sum_{j=1}^k a_i^j T^{-j}$ и спектральная теория «суперпериодических» операторов, для которых все решения уравнения $(L+1)\psi=0$ являются (анти)периодическими. Доказано, что для любого суперпериодического оператора $L$ порядка $k+1$ существует единственный суперпериодический оператор $\mathcal{L}$ порядка $n-k-1$, который коммутирует с $L$, и показано, что дуальность $L\leftrightarrow \mathcal{L}$ с точностью до некоторой инволюции совпадает с комбинаторным преобразованием Гэйла, введенным недавно в [S. Morier-Genoud, V. Ovsienko, R. E. Schwartz, S. Tabachnikov, Linear difference equations, frieze patterns and combinatorial Gale transform, Forum Math. Sigma, 2 (2014), e22].