Combinatorial Hopf Algebras and Towers of Algebras

Abstract

Bergeron and Li have introduced a set of axioms which guarantee that the Grothendieck groups of a tower of algebras $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ can be endowed with the structure of graded dual Hopf algebras. Hivert and Nzeutzhap, and independently Lam and Shimozono constructed dual graded graphs from primitive elements in Hopf algebras. In this paper we apply the composition of these constructions to towers of algebras. We show that if a tower $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ gives rise to graded dual Hopf algebras then we must have $\dim (A_n)=r^nn!$ where $r = \dim (A_1)$. Bergeron et Li ont donné un ensemble d'axiomes qui garanti que les groupes de Grothendieck d'une tour d'algèbres $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ peuvent être dotés d'une structure d'algèbres de Hopf graduées duales. Hivert et Nzeutzhap, et indépen\-damment Lam et Shimozono, ont construit des graphes gradués duals à partir d'éléments primitifs dans des algèbres de Hopf. Dans cet article, nous appliquons la composition de ces constructions aux tours des algèbres. Nous prouvons que si une tour $\bigoplus_{n \geq 0}A_n$ donne des algèbres de Hopf graduées duales, alors nous devons avoir $\dim (A_n)=r^nn!$ où $r = \dim (A_1)$.