Coexistence of competing first passage percolation on hyperbolic graphs

Abstract

Nous étudions un processus de croissance naturel avec compétition, qui a été récemment introduit pour analyser le MDLA, un modèle bien connu et difficile de croissance d’un agrégat par des particules diffusives. Le modèle de croissance considéré est constitué de deux processus de percolation de premier passage FPP1 et FPPλ, se propageant à taux 1 et λ>0 respectivement, sur un graphe G. Le processus FPP1 débute par un simple sommet à l’origine, alors que la condition initiale de FPPλ consiste en une infinité de germes distribués selon un produit de lois de Bernoulli de paramètre μ>0 sur V(G)∖{o}. Le processus FPP1 débute au temps 0 alors que les germes de FPPλ ne se propagent qu’après avoir été atteints par FPP1 ou FPPλ. Une question fondamentale dans ce modèle, et dans les modèles de croissance en compétition en général, est savoir si les deux processus peuvent coexister (c’est-à-dire que les deux produisent des composantes infinies) avec probabilité strictement positive. Nous montrons que c’est le cas lorsque G est transitif sur les arêtes, non-moyennable et hyperbolique, en particulier, pour tout λ>0 il existe μ0=μ0(G,λ)>0 tel que pour tout μ∈(0,μ0) les deux processus coexistent avec probabilité strictement positive. C’est la première fois qu’un résultat de coexistence non trivial est établi pour ce modèle. Nous montrons aussi que FPPλ produit une composante infinie presque surement pour tout λ, μ positifs, montrant des différences fondamentales avec le comportement de tels processus sur Zd.