Abstract
This work is intended as an attempt to survey existingde finitions of chaos for discrete dynamical systems. Discussion is restricted to the settingof topological dynamics, while the measure-theoretic (ergodic theory) and smooth (differentiable dynamical systems) aspects are omitted as exceedingt he scope of this paper. Chaos theory is understood here as a part of topological dynamics, so aforementioned definitions of chaos are just examples of particular dynamical system properties, and are considered inside the framework of the mathematical theory of discrete dynamical systems. It is not the purpose of this article to study chaos theory understood as a new kind of interdisciplinary branch of science devoted to nonlinear phenomena. As for prerequisites, the reader is expected to possess some mathematical maturity, and to be familiar with basic topology of (compact) metric spaces. No preliminary knowledge of the dynamical systems theory is required, however some is recommended. The first two section are devoted to general discussion of the term „chaos” and contains authors opinion on this subject. To facilitate access to the rest of the article some relevant material from the dynamical system theory is briefly repeated in the third section. The next section (Section 4) introduces the notion of topological transitivity along with some stronger variants, namely topological mixing and weak mixing. Section 5 gives a detailed account of the famous Sharkovskii’s Theorem in its full generality. This is required for characterization of chaotic interval maps. Sections 6-13 are devoted to various notions of chaos or related to chaos in dynamical systems. Each section contains an attempt to motivate the notion, historical background and formal definition followed with a review of known properties, relations between various notions of chaos, and some relevant open problems. Section 6 is devoted to a sensitivity to initial conditions – a notion which is accepted as a basic indicator of chaotic behavior. Section 7 introduces a definition of chaos accordingt o Auslander and Yorke. Section 8 examines the notion of Li-Yorke pair and Li-Yorke chaos. Section 9 deals with the definition of chaos introduced in Devaney’s book (Devaney chaos). Section 10 recalls some facts connected with symbolic dynamics, which provides a rich source of examples for various interestingb ehavior, and it is an indispensable tool for exploration of many systems. Section 11 describes the so-called “topological horseshoes”, which are generalizations of the famous example due to Smale. The existence of a horseshoe in a given dynamical system proves the existence of a subsystem with a dynamics similar to some symbolic dynamical system, hence with a very complicated behavior. Section 12 gives a brief exposition of the topological entropy and its relation to chaos. The review of various notions of chaos ends with section 13, containingd escription of distributional chaos.
Highlights
Dlatego warunek wrażliwości jest jedną ze składowych wielu definicji chaosu, a gdy nie pojawia się wprost w definicji, to jest własnością, która z tej definicji wynika
Devaney uzasadnił taki dobór własności w definicji chaosu w sposób następujący: topologiczna tranzytywność oznacza nieredukowalność układu, układ tranzytywny nie może zostać rozbity na topologicznie nietrywialne podukłady, które można by analizować oddzielnie; o znaczeniu wrażliwość na warunki początkowe już pisaliśmy; gęsty zbiór punktów okresowych to własność pojawiająca się właśnie w licznych przykładach układów z nieregularną dynamiką, zapewnia ona element niestabilnej regularności obecny właśnie w wielu układach bez wątpienia zasługujących na miano chaotycznych
Z drugiej strony układy tranzytywne, nawet jeżeli są wrażliwe na warunki początkowe (chaotyczne w sensie Auslandera-Yorke’a), ale nie posiadają punktów okresowych, mogą być nieregularne w bardzo słabym sensie
Summary
Dlatego warunek wrażliwości jest jedną ze składowych wielu definicji chaosu (chaos w sensie Auslandera-Yorke’a, chaos w sensie Devaneya), a gdy nie pojawia się wprost w definicji, to jest własnością, która z tej definicji wynika (przykładem mogą tu być tranzytywne układy o dodatniej entropii topologicznej, czyli tak zwane χ-układy [GW93]). Jeżeli układ dynamiczny (X, f ) jest wrażliwy na warunki początkowe, to nie może istnieć punkt x ∈ X o tej własności, że dla każdego δ > 0 istnieje stała ε > 0 taka, że dla dowolnego punktu y z kuli o środku w x i promieniu δ oraz dla dowolnego n zachodzi ρ(f n(x), f n(y)) < ε.
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
