Centralizers of the infinite symmetric group

Abstract

We review and introduce several approaches to the study of centralizer algebras of the infinite symmetric group $S_{\infty}$. Our work is led by the double commutant relationship between finite symmetric groups and partition algebras; in the case of $S_{\infty}$, we obtain centralizer algebras that are contained in partition algebras. In view of the theory of symmetric functions in non-commuting variables, we consider representations of $S_{\infty}$ that are faithful and that contain invariant elements; namely, non-unitary representations on sequence spaces. Nous étudions les algèbres du centralisateur du groupe symétrique infini $S_{\infty}$, passant en revue certaines approches et en introduisant de nouvelles. Notre travail est basé sur la relation du double commutant entre le groupe symétrique fini et les algèbres de partition; dans le cas de $S_{\infty}$, nous obtenons des algèbres du centralisateur contenues dans les algèbres de partition. Compte tenu de la théorie des fonctions symétriques en variables non commutatives, nous considérons les représentations de $S_{\infty}$ qui sont fidèles et contiennent les invariants; c’est-à-dire, les représentations non unitaires sur les espaces de suites.