Centers of generalized reflection equation algebras

Abstract

Как известно, в алгебре уравнения отражений, связанной с инволютивной или геккевской $R$-матрицей, элементы $Tr_R L^k$ (называемые квантовыми степенными суммами) являются центральными. Здесь символом $L$ обозначена матрица генераторов этой алгебры, а $Tr_R$ есть операция взятия $R$-следа, ассоциированного с данной $R$-матрицей. В настоящей работе рассматривается вопрос о том, является ли это верным для некоторых алгебр, сходных с алгеброй уравнения отражений и зависящих от спектрального параметра. Исследуются главным образом алгебры, аналогичные тем, которые были введены Решетихиным и Семеновым-Тян-Шаньским (названные алгебрами RS-типа). Эти алгебры задаются некоторыми токовыми (т. е. зависящими от параметра) $R$-матрицами, возникающими на основе инволютивных или геккевских $R$-матриц в результате так называемой бакстеризации. В алгебрах RS-типа определены квантовые степенные суммы и показано, что степенная сумма первого порядка является центральным элементом алгебры в том и только том случае, если заряд $c$, входящий в определение алгебры, принимает критическое значение. Это значение зависит от биранга $(m|n)$ исходной $R$-матрицы. Кроме того, если биранг равен $(m|m)$ и заряд $c$ имеет критическое значение, то все квантовые степенные суммы являются центральными элементами алгебры.