Brownian motion on $[0,\infty)$ with linear drift, reflected at zero: exact asymptotics for ergodic means

Abstract

Для броуновского движения $X_\mu(t)$ на полуоси $[0,\infty)$ с линейным сносом $\mu$, отраженного в нуле, и фиксированных чисел $p>0$, $\delta>0$, $d>0$, $a \geqslant 0$ вычислены точные асимптотики при $T\to\infty$ математических ожиданий и вероятностей $$ \mathsf E[\exp\{-\delta\int_0^T X_\mu^p(t) dt\} | X_\mu(0)=a], \mathsf P\{\frac1 T\int_0^T X_\mu^p(t) dt<d| X_\mu(0)=a\}, $$ а также их условных версий. При $p=1$ даны явные формулы для возникающих констант посредством функции Эйри. Рассмотрено применение полученных результатов к задаче исследования поведения броуновской частицы, находящейся в поле силы тяжести в сосуде, ограниченном снизу непроницаемой стенкой, когда $\mu=-mg/(2kT_{\mathrm K})$, где $m$ - масса броуновской частицы, $g$ - ускорение свободного падения, $k$ - постоянная Больцмана, $T_{\mathrm K}$ - температура по шкале Кельвина. Исследование проведено методом Лапласа для времени пребывания однородных марковских процессов. Библиография: 31 название.